一道高考题引发的思考

近年来，随着新课程改革的推进，一些新的考点逐渐被应用到新课程高考中，形成了一股热潮。在高考数学题中，就有很多这样的知识点，几何概型就是其中的一个方面，由于它贴近生活，具有很强的应用性，很快就成了高考的热点，也引起了人们的极大关注，同时也引发了一些思考。应该如何正确地理解题意，准确解答高考几何概型题，值得我们研究和深思。

下面，我们来看一道高考题：点A是周长为3的圆周上一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧AB的长度小于1的概率是多少？

关于这道题的解法，有以下几种争论。

第一种解法认为：在圆中任取一条直径，由于直径上的点是均匀分布的，那么在这条直径上任取一点，作与该直径垂直的弦，那么这些弦的分布也是均匀的，这样一来，该题就娈成了，只要劣弧小于1，即弦的长度小于3 3姨

2π

，那么

弦心距大于 3

4π，而直径是 3

2π

，由此可得概率为二分之一。这种解法的思路是，在一组平行弦中，只有弦心距介于与之间的弦才符合要求，从而得出概率为二分之一的。这个解法的的争论在哪里呢？其实，这一解法有个重要的前题，那就是一组平行弦与直径的交点，在直径上是均匀分布的，而实际情况却是，究竟这所有的平行弦中，与直径的交点是均匀分布的，还是与圆周的交点是均匀分布的，满足前者就不可能满足后者，反之，满足后者就不可能满足前者，一个比较浅显的道理，那就是作几条平行弦，使之在直径上均匀分布，也就是相互之间距离相等，我们可以发现，这些弦之间的弧长并不相等，也就是说，如果在直径上均匀分布，那么在圆周上就不会均匀分布，如果在圆周上均匀分布，在直径上就不会均匀分布了。由此可知，解法一实际上是缺乏条件的，当然也就比较牵强了。

第二种解法：如果我们认为，圆内的点是均匀分布的，那么我们以圆内任一点作为弦的中点作弦，很显然，只有当弦的中点落在半径为

34π

的圆外且在已知圆的内部的点才能作为满足条件的弦的中点，而半径为 3

4π

的圆将已知圆分成了面积为1比3的两部分，从而得到劣弧小于1的概率为四分之三。那么，这种解法的可靠性又有多少呢？一般持这种解法的人认为，圆内的点是均匀分布的，且以圆内任意一点为中点的弦也是唯一的，显然后一点是很难满足的，以圆心为例，所有直径均以它为中点，显然不只一条，所以这是一个不等可能的事件，它的局限性也就可想而知了。

第三种解法认为，在圆周上选取一定点A，再在圆周上任意选取一点B，则劣弧AB的长介于0与 3

2

之间，且认为圆周上的点是均匀分布的，则弧长小于1的概率为三分之二，显然这一解法是建立在条件：圆周上的点是均匀分布的。

无独有偶，这样的例子，在其它省的高考题中也有出现，例如，2011年湖南高考也有类似的问题，已知圆C：x2+y2=12,直线m:4x+3y=12,设点A是圆C上任意一点，则点A到直线m的距离小于2的概率是多少？第一种观点，过圆心作一条直线垂直于m，交圆于A、B两点，作垂直于直径AB的一组平行弦，这些弦可以看成是均匀分布的，而这些弦的端点到直线m的距离小于2，当且仅当这些弦位于圆心与直线m之间，且圆心到这些平行弦的距离大于3，这样求得的概率为2- 3姨

4

，显然，这一结论的得出是基于点在直径上的分布是均匀的。第二种观点，在圆周上任取一点A，设圆心为O，连结OA，圆周上的点是均匀分布的，则半径也是均匀分布的，而满足条件的A，只分布在一个中心角为六十度的区域内，由此可得概率为六分之一。

这就是我们数学中的悖论原理，比较著名的一个悖论是贝朗特悖论，原题是这样的，在一个圆中作弦，求使得弦长大于圆内接正三角形边长的概率。关于这个悖论，从不同的角度思考，其解法有三，大家可以参考2009年福建高考中那个题的解法去求，这里就不一一赘述。

这些解法各有各的理由，看似都有一定的道理，似乎每一个都有对，但悖论终究是悖论，必然是错误的，概率问题一个基本的原则就是，不管从哪个角度看，答案只能有一个，否则，如果一个事件的概率都不唯一，要么是这个问题本身有问题，或者，就是条件不够。对于前面两道高考题，第一题普遍认为，比较"标准"的答案是三分之二，对于第二题，普遍认为"标准"的答案是六分之一。其实，涉及悖论的概率题，不仅仅只在高考题中出现，在各地的月考及模拟题中也是屡见不鲜，我在这里略举一二，供大家研究。

题目一：在三角形ABC中，角A为90度，角B为30度，P为斜边BC上一点，连结AP，则三角形APB的面积小于三角形ABC面积一半的概率是多少？

题目二：函数y=x2,(14的概率是多少？

题目三：在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在角ACB内作一条射线CD与线段AB交于点D，求AD〈AC的概率。

对于第一个题，若斜边上的点是均匀分布的，则概率为二分之一，若角A内的射线是均匀分布的，则概率为三分之一。对于第二个题，若横坐标分布均匀的，则求得概率为三分之二，若纵坐标分布是均匀的，则概率为五分之四，若曲线上的点分布是均匀的，由积分可得，概率为九分之八。对于题目三，若角内射线是均匀分布的，求出概率为四分之三，若斜边AB上的点是均匀分布的，求出的概率为 2姨

2

。

那么什么是悖论呢？所谓悖论，是一种认识矛盾，它包括逻辑矛盾、语义矛盾，也包括思想方法上的矛盾。数学悖论，作为悖论的一种，主要发生在数学研究中。按照悖论的广为定义，所谓数学悖论，是指数学领域中，在数学规范中发生的无法解决的认识矛盾，这种认识矛盾可以在新的数学规范中得到解决。

那么,在高考题中出现悖论题型,又带给我们怎样的思考呢?

高考是教学的指挥棒，出现这样的问题，各地的备考当然也就会出现这样的问题，所以各地模拟出现了类似问题也就不觉得奇怪了。在高考题中出现悖论题，必然会增加评判的准确性，这一做法值得商榷。其实，全国各地的高考题中，几何概型的题不少，而且有很多好题，可以很好的避开悖论题。当然，对于同学们来说，如果遇到这样的题目，那就要好好审题，准确理解题意，尽量符合出题人的本意，他要考查我们什么样的知识点，考查哪方面的能力等等。

(三台县芦溪中学 何道明)

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