一.高考解读:
近年来圆锥曲线在高考中比较稳定,解答题往往以中档题或以压轴题形式出现,主要考察学生逻辑推理能力、运算能力,考察学生综合运用数学知识解决问题的能力。但圆锥曲线在新课标中化归到选学内容,要求有所降低,估计以后高考仍将以以下三类题型为主。
1.求曲线(或轨迹)的方程以及圆锥曲线定义的考查,以考察学生理解解析几何问题的基本思想方法和能力;
2.与圆锥曲线有关的最值问题、参数范围问题,这类问题的综合型较大,解题中需要根据具体问题、灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识,正确的构造不等式或方程,体现了解析几何与其他数学知识的联系。
3.直线与圆锥曲线的位置考查,考查直线过定点等。
二.要点小结:
1.求圆锥曲线(图形)方程的方法及其具体步骤如下:1、“建”:建立坐标系;“设”:设动点坐标。建立适当的直角坐标系,用(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标。2、现(限):由限制条件,列出几何等式。写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)}。3、“代”:代换,用坐标法表示条件P(M),列出方程f(x,y)=0。4、“化”:化简,化方程f(x,y)=0为最简形式。5、证明,证明化简以后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
2.求圆锥曲线方程的常见方法:(一).直接法:这是求圆锥曲线方程的基本方法。(二).转移法:这个方法又叫相关点法。即利用动点是定曲线上的动点,另一动点依赖于它,那么可寻求它们坐标之间的关系,然后代入定曲线的方程进行求解。(三).几何法:就是根据图形的几何性质而得到轨迹方程的方法。
3.圆锥曲线综合问题(1)圆锥曲线中的最值问题、范围问题
通常有两类:一类是有关长度和面积的最值问题;一类是圆锥曲线中有关的几何元素的最值问题。这些问题往往通过定义,结合几何知识,建立目标函数,利用函数的性质或不等式知识,以及观形、设参、转化、替换等途径来解决。解题时要注意函数思想的运用,要注意观察、分析图形的特征,将形和数结合起来。
圆锥曲线的弦长求法:设圆锥曲线C∶f(x,y)=0与直线l∶y=kx+b相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,则弦长|AB|为:
(1)|AB|= 1+k
2姨 ·|x
1
-x
2
|= 1+k
2姨 · (x1+x2)2姨 -4x
1
x
2
或|AB|= 1+1
k
2
姨 ·|y1-y2|= 1+1
k
2
姨 · (y1+y2)2-4y1y2姨
若弦AB过圆锥曲线的焦点F,则可用焦半径求弦长,|AB|=|AF|+|BF|.
在解析几何中求最值,关键是建立所求量关于自变量的函数关系,再利用代数方法求出相应的最值. 注意点是要考虑曲线上点坐标(x,y)的取值范围。(2)对称、存在性问题,与圆锥曲线有关的证明问题
它涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法,以及定点、定值问题的判断方法。涉及与圆锥曲线有关的应用问题的解决关键是建立坐标系,合理选择曲线模型,然后转化为相应的数学问题作出定量或定性分析与判断,解题的一般思想是:(3)知识交汇题
圆锥曲线经常和数列、三角、平面向量、不等式、推理知识结合到一块出现部分有较强区分度的综合题,尤其是与向量交汇是近年高考热点。
三.考点解析:
题型1:几何法或转移法求轨迹方程:
例1.(1)一动圆与圆x2+y2+6x+5=0外切,同时与圆x2+y2-6x-91=0内切,求动圆圆心M的轨迹方程,并说明它是什么样的曲线。(2)双曲线x2
9-y2=1有动点P,F
1
F
2
是曲线的
两个焦点,求ΔPF
1
F
2
的重心M的轨迹方程。
解析:(1)(法一)设动圆圆心M(x,y)为,半径为R,设已知圆的圆心分别为O
1
、O
2
,
将圆方程分别配方得:(x+3)2+y2=4,(x-3)
2+y2=100,
当圆M与圆O
1
相切时,有|O
1
M|=R+2①
当圆M与圆O
2
相切时,有|O
2
M|=10-R②
将①②两式的两边分别相加,得|O
1
M|+|
O
2
M|=12,即 (x+3)2+y2姨 + (x-3)2+y2姨 =12③整理得x2
36+y227=1,所以,动圆圆心的轨迹方程
是x2
36+y227=1,轨迹是椭圆。
(法二)由解法一可得方程
(x+3)2+y2姨 + (x-3)2+y2姨 =12,
由以上方程知,动圆圆心M(x,y)到点O
1
(-3,0)和O
2
(3,0)的距离和是常数,所以M点的轨
迹是焦点为O
1
(-3,0)、O
2
(3,0),长轴长等于的椭圆,并且椭圆的中心在坐标原点,焦点在x轴上,∴2c=6,2a=12,∴c=3,a=6,∴b2=36-9=27,
∴圆心轨迹方程为x2
36+y227=1。
(2)设P,M点坐标各为,P(x1,y1)M(X,Y)∴在已知双曲线方程中a=3,b=1,∴c= 9+1姨 =10姨 ∴已知双曲线两焦点为F
1
(- 10姨 ,0)(10姨 ,0),
∵ΔPF
1
F
2
存在,∴y1≠0由 三 角 形 重 心 坐 标 公 式 有 x=
x1+(- 10姨 )+ 10姨
3y=y
1
+0+03即x
1
=3xy
1
=3y。
∴y1≠0,∴y≠0。已知点P在双曲线上,将上面结果代入已知曲线方程,有(3x)2
9(3y)2=1(y≠0)即所求重心M的轨迹方程为:x2-9y2=1(y≠0)。
点评:定义法求轨迹方程的一般方法、步骤;“转移法”求轨迹方程的方法。题型2:圆锥曲线有关的最值问题、参数范围问题:例2.已知椭圆G:x2
4+y2=1,过点(m,0)作圆x2+y2=1的切线l交椭圆G于A,B两点。(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率;(2)将|AB|表示为m的函数,并求|AB|的最大值。解:(Ⅰ)由已知得a=2b=1所以c= a2-b2姨 - 3姨所以椭圆G的焦点坐标为(- 3姨 ,0),( 3姨 ,0)离心率为e=c
a= 3姨
2
(Ⅱ)由题意知|m|≥1,.当m=1时,切线l的方程x=1,点A、B的坐标分别为(1, 3姨
2)(1,- 3姨
2)此时|AB|= 3姨当|m|=-1时,同理可得|AB|= 3姨当时|m|>1,设切线l的方程为y=k(x-m)由y=k(x-m)x2
4+y2=1得(1+4k2)x2-8k2mx
+4k2m2-4=0;设A、B两点的坐标分别为(x
1
,y
1
)
(x
2
,y
2
),则x
1
+x
2
=8k2m1+4k2,x
1
x
2
=4k2m2-41+4k2;
又由l与圆x2+y2=1相切,得 |km|
k2+1姨=1,即m2k2=k2+1
所以
|AB|=(x
2
-x
1
)2+(y
2
-y
1
)2姨
= (1+k2)[64k4m2
(1+4k2)2-4(4k2m2-4
1+4k2]姨 =4 3姨 |m|
m2+3
由于当m=±3时|AB|= 3姨 ,因为|AB|=4 3姨 |m|
m2+3= 4 3姨|m|+ 3
|m|≤2
且当m=± 3姨 时,|AB|=2,所以|AB|的最大值为2
点评:本题主要考察了圆锥曲线的最值问题,主要是三角形的面积、弦长问题。韦达定理以及判别式问题是解题的关键。
例3. 在平面直角坐标系中xOy,直线l:x=-2交x轴于点A,设P是l上一点,M是线段OP的垂直平分线上一点,且满足∠MPO=∠AOP(1)当点P在l上运动时,求点M的轨迹E的方程;(2)过点T(1,-1)且不平行与y轴的直线l
1
与轨迹E有且只有两个不同的交点,求直线的斜率k的取值范围。
解:(1)如图1,设MQ为线段OP的垂直平分线,交OP于点Q,
∵∠MPQ=∠AOP,∴MP⊥l,且|MO|=|MP|因此 x2+y2姨 =|x+2|即y2=4(x+1)(x≥-1)①
另一种情况,见图2(即点M和A位于直线OP的同侧)。
MQ为线段OP的垂直平分线,∴∠MPQ=∠MOQ又∵∠MPQ=∠AOP∴∠MOQ=∠AOP
因此M在x轴上,此时,记M的坐标为(x,0)
为分析M(x,0)的x变化范围,设P(-2,a)为l上任意点(a∈R)
由|MO|=|MP|(即)|x|= (x+2)2+a
2
姨 得,
x=-1-1
4
a2≤-1
故M(x.0)的轨迹方程为y=0,x≤-1②
综合①和②得,点M轨迹E的方程为y2=4(x+1),x≥-10,x<-1(2)由图3知,直线l
1
的斜率k不可能为零。
设l
1
:y+1=k(x-1)(k≠0)
故x=1
k(y+1)+1代入E
1
的方程得:y2-4
ky-(4
k-8)=0
因判别式△=16
k
2
+4(4
k+8)=(4
k+2)2+28>0
所以l
1
与E中的E
1
有且仅有两个不同的交点。
又由E
2
和l
1
的方程可知,若l
1
与E
2
有交点,
则此交点的坐标为(k+1
k,0),且k+1
k<-1即当-1
2<k<0时,l
1
与E
2
有唯一交点,直线l
1
的斜
率k取值范围是(-∞,-1
2)∪(0,+∞)
题型3:与向量、三角等知识交汇题:例4.P(x
o
,y
o
)(x
0
≠±a)是双曲线E:x
2
a
2
-y
2
b2=1(a>0,b>0)上一点,M,N分别是双曲线E的左、右顶点,直线PM,PN的斜率之积为1
5.(1)求双曲线的离心率;(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A、B两点,O为坐标原点,C为双曲线上一点,满足OC=λOA+OB,求λ的值.【解析】(1)由题意可得a2=5b2,c2=a2+b2=6b2则e=c
a= 30姨
5
,(2)联立x2-5y2=5b2y=x-c,得4x2-10cx+35b2=0,设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)则x
1
+x
2
=5c2x
1
x
2
=35b24,设OC=(x
3
,
y
3
),OC=λOA+OB,即x3=λx
1
+x
2
y3=λy
1
+y
2
又C为双曲线上一点,即x
32-5y
32=5b2,有λ
(x1+x2)2-5(λy1+y2)=5b2
得:λ2+4λ=0,解出λ=0,或λ=-4
点评:本小题考查了平面向量的基本运算,向量方程等基础知识,以及综合运用解析几何知识解决问题的能力。
四.总结提高:
1. 注意圆锥曲线的定义在解题中的应用,注意解析几何所研究的问题背景平面几何的一些性质;
2.重视对数学思想、方法进行归纳提炼,达到优化解题思维、简化解题过程
解决圆锥曲线时充分注意直角坐标与极坐标之间有联系,直角坐标方程与参数方程,利用平移得出新系坐标与原坐标之间转化,可达到优化解题的目的。(三台县芦溪中学 何道明)
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