浅谈数学与数学思维

数学从诞生之日起，就与思维结下了不解之缘。数学的存在和发展都要依靠思维，都要通过思维来表现。反过来，数学又是思维的工具。笼统地讲“数学思维”，每个学过数学的人都会联想到以往的许多数学思维活动，产生一种生动直观的，但却一言难尽的感受。既然如此，那么什么是数学与数学思维？它们之间到底存在怎样的联系呢？下文我就将针对这些问题，作一些初步的探讨。

(一)、数学及数学思维的概念

什么是数学？数学是抽象性极强的一门学科。一般而言，数学是研究现实世界中的数量关系与空间形式的一门学科。什么是数学思维？数学思维，是指人关于数学对象的理性认识的过程。广义的可理解为：应用数学工具解决各种实际问题的思考过程。

（二）数学思维的特性

2.1数学思维具有高度的概括性

数学思维的概括性是由于数学思维能揭示事物之间抽象的形式结构和数量关系这些本质特征和规律，能够把握一类事物共有的数学属性。

2.2数学思维具有高度的抽象性

数学思维的抽象性是指数学思维的对象与方法而言的。数学思维的对象是事物之间的数量关系或理想化了的空间形式，而它们又不是停留在一次抽象的结果上，通常都是经过多次抽象而形成的，呈现为形式化了的东西。要认识这些形式化了的东西，只有在与别的已经形式化了的东西的联系中去认识。数学思维的方法在很大程度上是实现形式的转化，用新的等价形式或更强的形式代替原有的形式，而这些转化出的形式又要是已掌握的形式。正是基于这两种原因，使数学思维抽象化。2.3数学思维还具有相似性数学思维的相似性普遍存在，特别是在创造性思维活动中发挥着重要的作用，在数学思维的发展史上，数学知识的发展存在着相似现象。例如，牛顿和莱布尼兹几乎同时独立地发现了微分方法；秦九韶与海伦也是先后独立地发现了三角形的面积公式。数学的发展就其思维活动的规律而言，是对各种数学模式的探求。以及问题本身的条件与结论之间的同与异这个矛盾的分析和转化。因此，相似性是数学思维的一个重要特性。

(三)、数学思维的结构

我国数学家曹才翰教授指出：“数学教育的任务在于使学生形成完善的思维结构，并借助这种结构去掌握数学知识，提高数学能力。”数学思维结构是一个三维的立体结构，三条坐标轴分别是思维内容，思维方法和个体发展水平，这三部分相互作用构成了数学思维能力。1、思维内容及其分类思维内容是指主体面临的思维对象。从数学知识的总结和应用的角度来看，可分为：对立思维、公理化思维、空间思维、程度思维等。从方法论的角度看，可分为：具体思维、抽象思维、直觉思维、函数思维。2、思维方法及其分类思维方法是思维活动的步骤和格式，是对思维内容实行加工的方式和程序。众所周知，思维内容决定着思维方法，数学内容的复杂性决定了数学思维方法的多层次性。一般地说，逻辑思维方法与形象思维方法是数学中最基本的思维方法，是多种数学综合思维方法的基础。2.1逻辑思维方法

逻辑思维方法是指对数学概念、判断和推理进行加工改造，以形成新的概念、判断和推理的方法。它的内容十分的丰富，已经形成为一套完整的体系，诸如分析与综合法、比较与归纳法、归纳与演绎法、抽象与具体的方法等等。2.2形象思维方法

形象思维方法是指数学的各种图形、图表、解析式等反映于人脑中的事物的印象，以物化的形式再现出来的方法。也就是对数学形象的方式进行加工，并形成新形象的方式和程序。它是数学的基本思维方法之一。3、个体发展水平个体发展水平是指主体思维品质和非智力因素。思维的智力因素是衡量主体的思维发展水平的重要标志，它主要表现在思维的广阔性、深刻性、敏捷性、严谨性和批判性独创性等六个方面。这六个方面既有各自的特点，但又相互联系、相互补充。4、数学思维的智力品质4.1思维的广阔性思维的广阔性是指对一个问题能从多方面考虑。具体表现在对一个事实能作多方面的解释，对一个对象能用多种方式表达，对一个题目能想出各种不同的解法。4.2思维的深刻性

思维的深刻性是指思维活动的抽象程度和逻辑水平。它表现为善于使用抽象概括，理解透彻深刻，推理严谨，逻辑性强，并能解决难度较大的问题。4.3思维的敏捷性

思维的敏捷性是指思维活动的反应速度和熟练程度。它表现为思考问题时的敏锐快速反应。敏捷是以准确为前提的，只有掌握了扎实的基础知识和熟练的基本技能，正确地领会知识，把握问题的实质，达到融会贯通，才能有真正的敏捷性。4.4思维的严谨性思维的严谨性是指考虑问题的严密有据。运用直观的力量，但不停留在直观的认识上；运用类比，但不轻信类比的结果；审题时不但注意明显的条件，而且留意发现那些隐蔽的条件；运用定理时注意定理成立了的条件；仔细区分概念词的差别，弄清概念的内涵与外延，正确地使用概念；给出问题的全部解。4.5思维的批判性

思维的批判性是指对已有的数学表达或论证能提出自己的看法，不是一味的盲从，思想上完全接受的东西，也是谋求改善，包括修正，改进自己原有的工作。4.6思维的独创性思维的独创性是指思维活动的创新程度。它表现为思考问题和解决问题时的方式方法或结果的新颖、独特，别出心裁。善于发现问题、解决并引申问题是思维创造性的表现之一。独创性思维还具有思维舒展、活跃，多谋善变的特点，较多地寓于发散思维和直觉思维之中，辩证地处理问题也是其不可或缺的思想成分。

明确了上述数学思维品质的智力特征有利于在数学教学中由教师启发诱导，结合基础知识的学习及解题训练，有机地渗透有关思想，逐步地、有意识地培养学生的各项思维品质。当然，思维品质的发展与数学中的知识教学、技能训练及思想教育各方面都密切联系着，我们必须要从整体原理出发，引导学生，自觉掌握数学思维的基本方法和辨证策略，善于辨证地运用各种数学思维方法去分析具体问题、解决实际问题，以达到数学的教学和教养的目的。

（江油市明镜中学校文珍成）

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