数学篇：动态数学问题 北京四中网校柳州分校数学组编写

一、方法点拨

从历年中考来看，动态问题经常作为压轴题目出现，得分率也是最低的。动态问题一般分两类，一类是代数综合题，在坐标系中有动点、动直线，一般是利用多种函数交叉求解。另一类就是几何综合题，在梯形、矩形、三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考查。所以说，动态问题是中考数学当中的重中之重，只有完全掌握，才有机会拼高分。

动态几何问题：

1.动态几何常见类型

（1）点动问题（一个动点）

（2）线动问题（二个动点）

（3）面动问题（三个动点）

2.运动形式

平移、旋转、翻折、滚动

3.数学思想

函数思想、方程思想、分类思想、转化思想、数形结合思想

4.解题思路

（1）化动为静，动中求静

（2）建立联系，计算说明

（3）特殊探路，一般推证

二、题型解读

考例：如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），动点A以每秒1个单位长的速度，从点O出发沿x轴的正方向运动，M是线段AC的中点。将线段AM以点A为中心，沿顺时针方向旋转90°，得到线段AB，过点B作x轴的垂线，垂足为E，过点C作y轴的垂线，交直线BE于点D，运动时间为t秒。

（1）当点B与点D重合时，求t的值；

（2）当t为何值时，S△BCD=公式？

【思路点拨】

（1）由于∠CAB=90°，易证得Rt△CAO∽Rt△ABE；当B、D重合时，BE的长已知（即OC长），根据AC、AB的比例关系，即可得到AO、BE的比例关系，由此求得t的值。

（2）求△BCD的面积时，可以CD为底、BD为高来解，那么表示出BD的长是关键；Rt△CAO∽Rt△ABE，且知道AC、AB的比例关系，即可通过相似三角形的对应边成比例求出BE的长，进一步得到BD的长，在表达BD长时，应分两种情况考虑：①B在线段DE上，②B在ED的延长线上。

【答案与解析】

解：（1）∵∠CAO+∠BAE=90°，∠ABE+∠BAE=90°，

｀∠CAO=∠ABE。

｀Rt△CAO∽Rt△ABE。

｀公式。

｀公式。

｀t=8。

（2）由Rt△CAO∽Rt△ABE可知：，AE=2。

当0＜t＜8时，

公式

｀t1=t2=3。

当t＞8时，

公式

｀公式，公式（为负数，舍去）。

公式公式。

【总结升华】

考查了二次函数综合题，该题是图形的动点问题，解决本题的关键在于找出相似三角形，得到关键线段的表达式，注意点在运动过程中未知数的取值范围问题。

考例：如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片公式，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH。

（1）求证：∠APB=∠BPH；

（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；

（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由。

【思路点拨】

（1）要证公式APB=公式BPH，由内错角公式APB=公式PBC，即证公式PBC=公式BPH，折叠后公式EBP=公式EPB=90°，再由性质等角的余角相等即可得证。

（2）△PHD的周长为PD+DH+PH。过B作BQ⊥PH构造直角三角形,再利用三角形全等：△ABP≌△QBP和△BCH≌△BQH证明AP=QP， CH=QH，可得其周长为定值。

（3）公式,关键是用x来表示BE、CF。过F作FM⊥AB，垂足为M，先由边角关系得△EFM≌△BPA，得公式=x．在Rt△APE中可由勾股定理表示出BE，再由公式，很容易用x表示出S，再配方求最值。

【答案与解析】

解：（1）∵PE=BE，

｀公式EBP=公式EPB。

又∵公式EPH=公式EBC=90°，

｀公式EPH-公式EPB=公式EBC-公式EBP。

即公式PBC=公式BPH。

又∵AD∥BC，

｀公式APB=公式PBC。

｀公式APB=公式BPH。

（2）△PHD的周长不变，为定值 8。

证明：过B作BQ⊥PH，垂足为Q。

由（1）知公式APB=公式BPH，

又∵公式A=公式BQP=90°，

BP=BP，

｀△ABP≌△QBP。

｀AP=QP， AB=BQ。

又∵ AB=BC，

｀BC = BQ。

又∵公式C=公式BQH=90°，

BH=BH，

｀△BCH≌△BQH。

｀CH=QH。

｀△PHD的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8。

（3）过F作FM⊥AB，垂足为M，则公式。

公式

又EF为折痕，｀EF⊥BP。

｀公式，

｀公式。

又∵公式A=公式EMF=90°，

｀△EFM≌△BPA。

｀公式=x。

｀在Rt△APE中，公式。

解得，公式。

｀。

又四边形PEFG与四边形BEFC全等，

｀。

即：公式。

配方得，公式，

｀当x=2时，S有最小值6。

【总结升华】

本题将函数和几何知识较好地综合起来，对能力的要求较高。本题考查了三角形全等、正方形的性质、勾股定理、梯形的面积公式、折叠的性质、二次函数等相关知识。难度较大，是一道很好的压轴题，通过此题能够反映出学生的思维能力及对数学知识的掌握程度，解答本题要学会将题目中的已知量与待求量联系起来。此题的关键是证明几组三角形的全等，以及用x来表示S。

策划：赖柱武

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