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数学篇:动态数学问题 北京四中网校柳州分校数学组编写

来源:柳州晚报 2018-06-08 13:03   https://www.yybnet.net/

一、方法点拨

从历年中考来看,动态问题经常作为压轴题目出现,得分率也是最低的。动态问题一般分两类,一类是代数综合题,在坐标系中有动点、动直线,一般是利用多种函数交叉求解。另一类就是几何综合题,在梯形、矩形、三角形中设立动点、线以及整体平移翻转,对考生的综合分析能力进行考查。所以说,动态问题是中考数学当中的重中之重,只有完全掌握,才有机会拼高分。

动态几何问题:

1.动态几何常见类型

(1)点动问题(一个动点)

(2)线动问题(二个动点)

(3)面动问题(三个动点)

2.运动形式

平移、旋转、翻折、滚动

3.数学思想

函数思想、方程思想、分类思想、转化思想、数形结合思想

4.解题思路

(1)化动为静,动中求静

(2)建立联系,计算说明

(3)特殊探路,一般推证

二、题型解读

考例:如图,在平面直角坐标系中,点C的坐标为(0,4),动点A以每秒1个单位长的速度,从点O出发沿x轴的正方向运动,M是线段AC的中点。将线段AM以点A为中心,沿顺时针方向旋转90°,得到线段AB,过点B作x轴的垂线,垂足为E,过点C作y轴的垂线,交直线BE于点D,运动时间为t秒。

(1)当点B与点D重合时,求t的值;

(2)当t为何值时,S△BCD=公式?

【思路点拨】

(1)由于∠CAB=90°,易证得Rt△CAO∽Rt△ABE;当B、D重合时,BE的长已知(即OC长),根据AC、AB的比例关系,即可得到AO、BE的比例关系,由此求得t的值。

(2)求△BCD的面积时,可以CD为底、BD为高来解,那么表示出BD的长是关键;Rt△CAO∽Rt△ABE,且知道AC、AB的比例关系,即可通过相似三角形的对应边成比例求出BE的长,进一步得到BD的长,在表达BD长时,应分两种情况考虑:①B在线段DE上,②B在ED的延长线上。

【答案与解析】

解:(1)∵∠CAO+∠BAE=90°,∠ABE+∠BAE=90°,

`∠CAO=∠ABE。

`Rt△CAO∽Rt△ABE。

`公式。

`公式。

`t=8。

(2)由Rt△CAO∽Rt△ABE可知:,AE=2。

当0<t<8时,

公式

`t1=t2=3。

当t>8时,

公式

`公式,公式(为负数,舍去)。

公式公式。

【总结升华】

考查了二次函数综合题,该题是图形的动点问题,解决本题的关键在于找出相似三角形,得到关键线段的表达式,注意点在运动过程中未知数的取值范围问题。

考例:如图所示,现有一张边长为4的正方形纸片公式,点P为正方形AD边上的一点(不与点A、点D重合)将正方形纸片折叠,使点B落在P处,点C落在G处,PG交DC于H,折痕为EF,连接BP、BH。

(1)求证:∠APB=∠BPH;

(2)当点P在边AD上移动时,△PDH的周长是否发生变化?并证明你的结论;

(3)设AP为x,四边形EFGP的面积为S,求出S与x的函数关系式,试问S是否存在最小值?若存在,求出这个最小值;若不存在,请说明理由。

【思路点拨】

(1)要证公式APB=公式BPH,由内错角公式APB=公式PBC,即证公式PBC=公式BPH,折叠后公式EBP=公式EPB=90°,再由性质等角的余角相等即可得证。

(2)△PHD的周长为PD+DH+PH。过B作BQ⊥PH构造直角三角形,再利用三角形全等:△ABP≌△QBP和△BCH≌△BQH证明AP=QP, CH=QH,可得其周长为定值。

(3)公式,关键是用x来表示BE、CF。过F作FM⊥AB,垂足为M,先由边角关系得△EFM≌△BPA,得公式=x.在Rt△APE中可由勾股定理表示出BE,再由公式,很容易用x表示出S,再配方求最值。

【答案与解析】

解:(1)∵PE=BE,

`公式EBP=公式EPB。

又∵公式EPH=公式EBC=90°,

`公式EPH-公式EPB=公式EBC-公式EBP。

即公式PBC=公式BPH。

又∵AD∥BC,

`公式APB=公式PBC。

`公式APB=公式BPH。

(2)△PHD的周长不变,为定值 8。

证明:过B作BQ⊥PH,垂足为Q。

由(1)知公式APB=公式BPH,

又∵公式A=公式BQP=90°,

BP=BP,

`△ABP≌△QBP。

`AP=QP, AB=BQ。

又∵ AB=BC,

`BC = BQ。

又∵公式C=公式BQH=90°,

BH=BH,

`△BCH≌△BQH。

`CH=QH。

`△PHD的周长为:PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8。

(3)过F作FM⊥AB,垂足为M,则公式。

公式

又EF为折痕,`EF⊥BP。

`公式,

`公式。

又∵公式A=公式EMF=90°,

`△EFM≌△BPA。

`公式=x。

`在Rt△APE中,公式。

解得,公式。

`。

又四边形PEFG与四边形BEFC全等,

`。

即:公式。

配方得,公式,

`当x=2时,S有最小值6。

【总结升华】

本题将函数和几何知识较好地综合起来,对能力的要求较高。本题考查了三角形全等、正方形的性质、勾股定理、梯形的面积公式、折叠的性质、二次函数等相关知识。难度较大,是一道很好的压轴题,通过此题能够反映出学生的思维能力及对数学知识的掌握程度,解答本题要学会将题目中的已知量与待求量联系起来。此题的关键是证明几组三角形的全等,以及用x来表示S。

策划:赖柱武

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每周中考各科目复习模拟题依次排序如下:星期一(政史),星期二(化学),星期三(语文),星期四(英语),星期五(数学),星期六(物理),敬请关注。

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