基于Moho界面起伏的似大地水准面精化方法研究

费县国土资源局  廉飞

摘要：传统的均衡模型存在明显的缺陷——地壳均衡只是一种假说而非现实。Moho界面起伏在一定程度了反映了实际的地形质量补偿，而且已有不少精度相当不错的 Moho界面起伏的地球物理资料可供应用，为此本文提出利用Moho界面起伏代替传统均衡假设面计算均衡改正的方法，并基于算例分析讨论传统Airy-均衡模式和Moho界面均衡模式对似大地水准面精化的影响。

关键词：大地水准面精化，Moho 面起伏，Stokes积分，重力归算，均衡改正

1、引言

大地水准面和似大地水准面都是大地测量定义高程系统的基准面，诸多与地理位置相关的空间数据或空间信息都需要以大地水准面或似大地水准面为起算面的正高或正常高系统。因此，统一定义的精确大地水准面或似大地水准面是建立全球或全国统一高程基准的前提。大地水准面的确定目前仍基于求解经典大地测量边值问题，最具有代表性的是Stokes理论。Stokes方法有两个前提：一个是大地水准面外无地形质量存在，另一个是所用的重力异常必须是大地水准面上的值。事实上，大地水准面外部有质量存在，实测重力（异常）是在地面上而非在大地水准面上。因此大地水准面外部质量是影响我国大地水准面求定的关键问题所在（张克非，1993），需要对重力加以归算。目前地形归算得方法有很多，Heiskanen 和Moritz（1967）给出了几种重力归算方法，如地形改正、布格改正和均衡改正方法等。在物理大地测量中，Airy-Hikannen 均衡模型因便于计算且接近于物理原型而被广泛采用。均衡重力异常与其它重力异常一样，都是地球内部构造的反应。但是，均衡重力异常消除了地壳厚度变化所产生的重力效应，能更加突出地壳内部构造信息。基于地壳均衡技术所构制的均衡异常值比空间异常值更小，变化更平缓，这些优点使得均衡异常更适合于内插与外推。现在全球的平均重力异常值，有些由于缺乏重力数据，也是利用地壳均衡模型推估的。考虑到研究区域多山区，研究地壳均衡具有重要的意义。

一个多世纪以来，作为标志地球物理学成为一门独立分支学科诞生的地壳均衡理论对地球科学的研究起到了极大的推动作用，越来越多的研究证实了它在全球范围内普遍存在的广泛意义。早在上世纪50年代，Pratt和Airy就提出了各自的均衡假说，其后经过Hayford、Heiskanen、Vening等的补充和修正，以及许多学者在实践中的检验，给了多种均衡模型。均衡学说毕竟仅是假说，大量的地球物理资料表明，地壳下面确实存在一个均衡面，这个面不是水平面而是起伏不平的；地壳组成物质的密度也是不均匀的。区域重力异常与地壳厚度及Moho界面起伏具有相关性。即重力异常越高，地壳越薄、Moho界面越浅；反之，重力异常越低，地壳越厚、Moho界面越深。这种现象反映了地表质量的过剩由地壳深处质量的亏损所补偿。这种地壳物质为适应重力的作用，总是力求与其更深部的物质之间达到质量或重量上的平衡状态的现象称为地壳的重力均衡。

传统的 Airy模型对均衡补偿面的假设和对均衡深度的定义均缺乏实际数据验证。而Moho界面起伏数据是基于地震波测量获得的，具有明确的物理与实际意义，因此，在利用均衡理论进行均衡重力异常归算，并据此内插区域平均空间异常的过程中，利用Moho界面起伏这一实测的重要的地壳均衡面数据，及地形数据进行均衡重力异常归算，有可能更加逼近符合实际的局部重力场，获得相对更合理的格网平均重力异常，从而提高重力似大地水准面模型的可靠性。

近年来，已经有学者就界面起伏对模拟大地水准面的影响进行了深入研究（楼立志等，2006），认为：物质界面起伏对大地水准面的影响与地形质量的影响符号相反，物质界面起伏对大地水准面的影响补偿了绝大部分由地形质量引起的大地水准面起伏。其中，Moho界面起伏对大地水准面的影响占地形质量影响量的70％左右（采用平均密度），这同时也说明了均衡理论的正确性。如果采用变密度的Moho界面起伏进行计算，补偿部分有可能更大。这种补偿并不是完全的，物质界面起伏仅仅是补偿了由地形质量引起的大地水准面起伏的中长波长部分，而短波长的地形影响仍然存在，甚至还有小部分中长波长的地形影响。

本章给出利用实际的Moho界面起伏代替传统Airy 均衡假设面计算均衡改正的方法，并基于算例分析讨论传统Airy均衡模式和Moho界面均衡模式对重力异常归算及重力似大地水准面的影响。

2 计算原理

2.1传统Airy-Hikannen均衡模型

Airy-Hikannen均衡模型假说认为：地壳是由密度较大的深部岩浆支撑着，高山和大陆漂浮在这种岩浆上，并处于平衡状态。若将地壳切成许多截面相等的垂直柱体，并设其密度相同，它们高出大地水准面的凸起部分（山）和陷入深部岩浆的凹下部分（山根）是相对应的：凸起越高，则陷入越深；反之亦然，故又称为“山根学说”。地形质量的过剩和不足是由各个柱体下面较重的岩浆面位置的高低来补偿。补偿深度可变，形态类似真实地形的镜象投影。

采用Airy-Heiskanen“山根”理论计算地形均衡补偿（Heiskanen，1967）。山根厚度可记做：

(1)其中，H 为地形高，ρc为平均地壳密度，ρm为上地幔的密度，ρw 为海水密度。

图1均衡模型示意图Airy均衡改正积分式可写为：

(2)其中，G 为重力常数；Rm 为界面的平均深度；界面相对于Rm 的起伏为hm；Δρ为补偿密度，海洋上，陆地上。上式对变量z的积分，为了简化计算，不采用严密的积分，在不损失精度的情况下，可将被积函数在z=Rm 处展成Taylor级数，取至一次项，由此得

(4)对z的导数为：

(5)故

(6)将上式替换式（2）的被积函数，先对变量z积分得

(7)经整理将上式代入式（3.1.2），得

(8)由于恒有r0>0，即流动点不可能与点P重合，故不存在奇异点积分问题。

2.2界面均衡模型

Moho界面均衡模型计算思路为：既然Moho界面是一个均衡面，其起伏形态与大地水准面以上的地形起伏具有对应关系，且补偿了大部分地形对大地水准面起伏的影响，可以理解为其发挥了与Airy学说中的“山根”类似的抵偿作用。利用实测的Moho界面起伏数据对Airy模型中的假设“山根”进行修正，可以计算相应的均衡改正数值。若用Moho界面代替均衡面计算均衡改正，式（2）变为：

(3.1.9)Tm 表示Moho界面的实际深度。按照上面步骤整理，式（3.1.7）相应变成：

(3.1.10)代入式（3.1.8），即可得出 Moho界面均衡改正公式：

(3.1.11)对Airy-Heiskanen地形均衡改正进行修改，用Moho界面深度代替传统的Airy均衡。根据均衡假说，设地形质量部分由Moho界面的相对起伏部分的补偿密度来补偿。假设各块体的补偿密度是均匀的，就可以在球近似下计算出各积分块体的平均补偿密度。

图2 补偿密度模型示意图

由于地形部分与Moho界面补偿部分对应的球心角度一致，利用球冠的体积计算公式，然后根据质量补偿的原理计算出相应的补偿密度：

(12)可得到：

(13)

其中，Δρi为下地壳与上地幔之间的变密度，Rm 为平均地壳深度，Hi为地形高，Tm为Moho界面深度。

这里需要指出的是，在利用式（13）计算变密度时，需要确定平均地壳深度Rm 。本试验计算中，将其定为35km。

3、算例分析

3.1 数据准备

本文研究区域范围为 34.3?N-36.3?N,117.4E-119.2E，地形数据采用SRTM3模型，图3给出了所用的SRTM3地形数据等值线图，高程最大值为1125m ，平均高程为151.7m。

图3 地形数据 (单位：m)

临沂市境内相对重力数据995个，其点位分布如图4圆点所示。为了检验地面重力数据的精度，我们采用该区18个长期观测的绝对重力观测数据（其点位分布如图4中星号点所示）对相对重力测量数据进行检核。经分析，测区相对重力测量数据标准差为0.02mGal。

图4地面重力测量点位分布图

目前应用最为广泛的全球地球重力场模型是EGM2008地球重力位系数模型。利用位系数计算参考重力场的公式为（Heiskanen和 Moritz，1967）：

（14）其中，、为完全规格化重力位系数，GM 为地心引力常数，a为参考椭球长半径，为完全规格化缔合Legendre函数，为重力场模型的最大阶数2190阶。为了验证EGM2008模型在临沂地区的精度，本文采用实测地面重力数据对EGM2008模型进行外部测试。考虑到地面重力测量成果使用无潮汐基准,模型重力场计算时亦采用无潮汐基准模型。经过分析，模型数据与实测空间重力网格数据的标准差为5.66mGal。

本区共有165个GPS/水准点，分布如图5所示。其坐标系统采用2000国家大地坐标系，高程基准采用1985国家高程基准。任取其中142个点（圆点标记）作为高一级的控制点计算大地水准面，剩余23个点（星号点标记）作为外部检验点，以检验求得的大地水准面的精度。

图5水准点分布图

Fig.3

stations

离散重力数据格网化

重力测量的结果是一些分布不规则的离散点重力值。为了便于使用快速傅立叶变换（FFT）等科学计算方法，离散重力数据需要进行格网化。然而由于空间重力异常的变化较大，直接对空间重力异常进行格网化将产生较大的误差。因此通常在进行格网化之前对重力异常进行归算。本文重力归算采用布格重力异常进行格网化。具体计算步骤如图4所示。

图4 重力异常数据格网化计算流程图

临沂市外空白区域用EGM2008模型重力异常进行填充。格网化过程中的地形数据采用SRTM3模型。按图4所述的方法，将离散重力数据格网化成2.5?×2.5?分辨率的网格点。图5给出了格网化后的空间异常等值线图，其最大值为50.74mGal，最小值为-6.61mGal，平均值为9.36mGal。图 5 格网化后 的地面空间异常（单位：mGal）

3.3重力大地水准面计算

采用“移去- 恢复”计算重力大地水准面：

(15)式中，Δgfa为空间重力异常，Δgtopo 为地形及其质量补偿的影响，Δgref 为参考重力模型得到的参考重力异常。

本文分别采用这两种均衡模式计算地形及其补偿质量对重力异常的影响。

方案一

采用传统的Airy均衡模型，利用式（38）计算地形均衡改正。其中平均地壳密度ρ0=2.67g/cm3，平均地壳厚度取35km。

方案二

利用 Moho 界面深度代替传统的均衡面，根据式（11）计算地形均衡改正。其“山根”的表达式：

(16)其中，t为补偿质量的深度，Tm 为Moho界面 的 深 度 ，Rm 为 平 均 地 壳 厚 度（Rm=35km）。Moho界面均衡模型的变密度由式（13）计算得到。图 6 给出了基于传统Airy 均衡模型计算的重力大地水准面。重力大地水准面高最大值为-2.37m，最小值为-4.21m，平均值为-0.7m，标准差为1.51m。图7给出了基于Moho面起伏的均衡模型计算的大地水准面，最大值为-2.45，最小值为-4.13，平均值为-0.67m，标准差为1.5m。图6 基于传统Airy– Heiskanen均衡模型计算的重力大地水准面(单位：m)图7 基于Moho 面均衡模型计算的重力大地水准面(单位：m)

与GPS/水准数据控制拟合

由GPS/水准测量得到的高程异常以及重力似大地水准面起伏之间的拟合模型通常可表达为(Moritz,：

(17)式中，H 为GPS/水准高程异常，N 为重力似大地水准面起伏。x为拟合参数；A 为系数矩阵，取决于拟合模型；n为随机噪声。由于GPS/水准观测值与重力观测值相互独立，上式可用最小二乘配置法求解(Moritz,p116)：

(18)包含观测值的协方差矩阵C 和噪声的协方差矩阵D，。

按照上述方法，分别采用两种均衡模型计算的重力似大地水准面和GPS/水准高程拟合似大地水准面。选取1142个GPS/水准点作为高一级的控制点与重力似大地水准面联合平差，剩余23个点作为外部检验点，以检验两种均衡模型精化似大地水准面的精度。由结果可以看出，利用Moho均衡模型拟合似大地水准面的精度比传统方法精度更高。由此可见，利用实际的Moho界面代替均衡假设面精化似大地水准面的方法是可行的。表1 两种均衡模型精化似大地水准面的外符合精度(单位：cm)

4、结论

本文系统归纳了经典均衡理论与均衡模型的原理与数学模型，在充分分析均衡模型中蕴含的假设成分，如补偿深度、补偿密度等的基础上，提出利用Moho界面起伏数据确定均衡重力异常的新方法。

均衡理论实际上是由地形与地下物质组成的重力综合效应的机理解释。均衡改正消除了与地形质量相对应的补偿质量对观测点的重力影响。均衡改正没有改变地形的质量，只是把地形质量做了适当的调整，把地形质量按照补偿模型移到了大地水准面以下。传统的均衡模型存在明显的缺陷——地壳均衡只是一种假说而非现实。本文利用Moho界面起伏资料取代传统的Airy均衡的假说，结合地形资料采用变补偿密度方法计算均衡补偿质量对大地水准面起伏的影响。试算结果证明本文的思路是有效的，也是可行的。

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