重力归算模型对重力大地水准面的影响 费县国土资源局 廉飞

摘要：大地水准面的确定目前仍基于求解经典大地测量边值问题，最具有代表性的是Stokes理论，它的前提是假定大地水准面外部必须没有质量，为此需要对重力异常加以归算。详细讨论了 RTM 方法、Helmert凝聚法、RTM/Helmert法三种重力异常归算模型的原理及对重力似大地水准面的影响。试验表明，三种归算模型虽然原理不同，但是得到的重力大地水准面基本一致。

关键词：重力归算、大地水准面、RTM 法、Helmert法

1、引言

（似）大地水准面表征了地球的基本几何和物理特性，它不仅是描述地球形状和大小的重要参考面，而且也是各个国家和地区的高程系统基准面。同时，由于其与地球重力场息息相关，蕴含了地球内部物质结构、密度和分布等各种重要信息，可以为地球物理学、大地构造学、地球动力学、地震学和海洋学等相关地球学科研究地球内部结构和动力学过程提供基础信息。因此，不论从大地测量未来发展需要，还是从其对相关研究的重要作用来看，不断精化全球和区域（似）大地水准面是大地测量学的一项长期战略性任务。

大地水准面的确定目前仍基于求解经典大地测量边值问题，最具有代表性的是Stokes理论。Stokes方法有两个前提：一个是大地水准面外无地形质量存在，另一个是所用的重力异常必须是大地水准面上的值。事实上，大地水准面外部有质量存在，实测重力（异常）是在地面上而非在大地水准面上。因此大地水准面外部质量是影响我国大地水准面求定的关键问题所在（张克非，1993），需要对重力加以归算。此外，由于不可能在地面上进行非常稠密的重力测量，需要用内插方法确定没有测量重力点或区域的重力异常。而我国地形复杂，空间重力异常受地形引起的高频变化部分的影响很大，直接用空间重力异常进行内插，精度不会很高，通常是将这种高频影响去掉，得到变化相对平缓的另一种重力异常，并利用这种重力异常进行内插，然后在内插点或区域加上高频影响，使其恢复成空间重力异常，为此也需要重力归算。

目前地形归算得方法有很多，Heiskanen和Moritz（1967）给出了几种重力归算方法，如地形改正、布格改正和均衡改正方法等。Forsberg和Tscherning（1981）提出了利用残差地形模型（RTM 方法）归算重力异常。Heiskanen和Moritz（1967）给出了地形对重力异常及似大地水准面的间接影响的公式。理论上，用这几种方法得到的重力似大地水准面应相同，但是有研究表明，由此得到的似大地水准面存在差异。目前没有文献给出哪种模型更能有效的归算重力异常。

本文基于上述思想，致力于大地水准面的求定；并按不同准则，对大地水准面外部质量进行了调整。调整方法采用了最近几年提出的三种归算模型——RTM法、Helmert凝聚法及RTM/Helmert法。搜集了某地区的重力资料以及地形资料，基于“移去- 恢复”技术利用1D-FFT公式计算重力似大地水准面（Forsberg，1993），比较RTM 法、Helmert凝聚法以及RTM/Helmert法三种归算模型计算的重力大地水准面。

2、基本原理

2.1“移去- 恢复”技术

对于Stokes问题，要求大地水准面外部必须没有质量。通过“移去- 恢复”法的“移去”过程，将重力异常归算到似大地水准面：

(1)

式中，Δgfa为空间重力异常，Δgegm 为参考重力异常，Δgterr-eff为地形影响。

经典的用Stokes积分计算大地水准面起伏的表达式（Stokes，1984； Vanícek，1986）：

(2)其中，R 为平均地球半径，γ为水准椭球面上的正常重力，σ为单位球面，Δg为大地水准面的重力异常，ψ为计算点与积分元的角距，S(ψ)为Stokes函数：

(3)

等（1993）提出了 1D-FFT 方法计算Stokes积分。Stokes公式的离散求和形式可写成：

(4)式中

，  表示在平行圈 上，所有点  的大地水准面差距。相应的一维谱表示式可以写成

(5)式中，

(6)最后，通过“恢复”过程，得到重力大地水准面：

(7)式中，NΔg由式（4）计算得到，Nterr-eff为地形影响。

利用Molodensky积分代替Stokes积分可得到剩余似大地水准面高（高程异常）：

(8)式中，  为地理坐标 ， 为正 常重力， 为Moloden-sky展开的第一项。

最终的似大地水准面：

(9)式中 ， 为剩余高程异常，  为地形对似大地水准面的影响。

2.2 重力异常归算模型

（1） RTM 法

残差地形改正则是把地形的起伏看作重力场的噪声，认为地球表面上有一平滑高度面，地形相对于这一平滑面的起伏就是重力场的噪声。通过对相对于这一面的地形质量进行“消去”和“填补”，就可得到残差地形改正。平滑面则可通过高斯滤波法确定。利用RTM法计算重力似大地水准面的流程为：① 根据EGM96，计算参考模型重力异常；② 计算局部地形改正 ，求出地形对重力异常影响的近似展开式（Forsberg，1984）：

(10)其中，ρ为地壳密度，h为地形高，href为参考面的高程。③ 根据下面近似公式得出剩余重力异常：

(11)

上式中参考曲面的高程href由高程经低通滤波（分辨率为100km）得到。④ 采用曲面样条插值方法求得的归算重力异常格网

化  。⑤ 采用1D 球面FFT 计算Stokes积分，得到剩余大地水准面：

(12)

式中，F 和F-1分别为傅氏变换和逆傅氏变换

。  为Stokes函数。⑥ “恢复”EGM96参考场Negm 和RTM 大地水准面影响，得到重力似大地水准面：

(13)考虑到RTM大地水准面影响（RTM 地形对大地水准面的影响）很小，1/r可写为

(14)其中r0为平面距离。当平面距离精度足够时，上式可只考虑第一项。那么RTM 大地水准面影响可表示为

(15)

（2）Helmert凝聚法

相对于RTM 法，Helmert凝聚法不是移去地形质量影响，而是把地形影响压缩到大地水准面以下。因此用Helmert凝聚法得到的剩余重力异常没有RTM 法得到的“平滑”。采用Helmert凝聚法计算重力似大地水准面的具体方法如下：① 根据EGM96，计算参考模型重力异常；② 计算地形对重力异常影响（Forsberg，1984）：

(16)式中 ，  为局部地形改正，  为地形间接影响：

(17)R 为平均地球半径。③ 根据下面公式得出Helmert剩余重力异常：

(18)④ 采用曲面样条插值方法将求得的归算重力异常格网

化  。⑤ 根据1D 球面FFT 计算 Stokes公式，计算剩余大地水准面高：

(19)式中，F 和F-1分别为傅氏变化和傅氏逆变换，为Stokes函数；⑥ 采用Helmert凝聚改正法，则Helmert地形对似大地水准面的间接影响计算式为（Sideris，1995）：

(20)式中称为垂直微分算子，其表达式为

(21)取n=1，得

(22)上式右端第一项称为主项，第二项称为次项；⑦ 恢复参考重力场和间接影响，得到最终重力似大地水准面。

（3） RTM/Helmert凝聚法

与RTM 法不同的是，RTM/Helmert法首先利用RTM 法归算的重力异常对重力数据格网化，并在Stokes之前恢复2πGρ (h-href) 项。令地形影响为Δgterr-eff=-cP，Nterr-eff=0。RTM/Helmert法计算重力似大地水准面的流程为：① 根据EGM96，计算参考模型重力异常；② 根据式（10）计算RTM 地形影响。移去RTM 地形对重力异常的影响：

(23)其中，ρ为地壳密度，h为地形高，href为参考面的高程。上式参考曲面的高程href由高程经低通滤波（分辨率为100km）得到。③ 利用RTM 剩余重力异常，采用曲面样条插值方法对RTM 剩余重力异常格网化。④“恢复”RTM 影响：

(24)⑤ 令地形影响Δgterr-eff=-cP，移去地形影响

(25)⑥ 采用球面FFT积分，计算剩余大地水准面，公式为：

(26)式中，F和F-1分别为傅氏变换和傅氏逆变换。S(ψ)为Stokes函数。⑦ 地形影响Nterr-eff=0，恢复参考场，得到最终重力似大地水准面：

(27)

（3）RTM/Helmert凝聚法

与RTM 法不同的是，RTM/Helmert法首先利用RTM 法归算的重力异常对重力数据格网化，并在Stokes之前恢复2πGρ (h-href) 项。令地形影响为Δgterr-eff=-cP，Nterr-eff=0。RTM/Helmert法计算重力似大地水准面的流程为：① 根据EGM96，计算参考模型重力异常；② 根据式（10）计算RTM 地形影响。移去RTM 地形对重力异常的影响：

(28)其中，ρ为地壳密度，h为地形高，href为参考面的高程。上式参考曲面的高程href由高程经低通滤波（分辨率为100km）得到。③ 利用RTM 剩余重力异常，采用曲面样条插值方法对RTM 剩余重力异常格网化。④“恢复”RTM 影响：

(29)⑤ 令地形影响Δgterr-eff=-cP，移去地形影响

(30)⑥ 采用球面FFT积分，计算剩余大地水准面，公式为：

(31)式中，F和F-1分别为傅氏变换和傅氏逆变换。S(ψ)为Stokes函数。⑦ 地形影响Nterr-eff=0，恢复参考场，得到最终重力似大地水准面：

(32)

数据准备

本 文

研  究  区  域

范  围 为34.3N-36.3N,117.4E-119.2E，地形数据采用SRTM3模型，图1给出了所用的SRTM3地形数据等值线图，高程最大值为1125m，平均高程为151.7m。

图1 地形数据 (单位：m)

临沂市境内相对重力数据995个，其点位分布如图2圆点所示。为了检验地面重力数据的精度，我们采用该区18个长期观测的绝对重力观测数据（其点位分布如图2中星号点所示）对相对重力测量数据进行检核。经分析，测区相对重力测量数据标准差为0.02mGal。

图2 地面重力测量点位分布图

目前应用最为广泛的全球地球重力场模型是EGM2008地球重力位系数模型。利用位系数计算参考重力场的公式为（Heiskanen 和 Moritz，1967）：

（33）其中，、为完全规格化重力位系数，GM 为地心引力常数，a为参考椭球长半径，为完全规格化缔合Legendre函数，为重力场模型的最大阶数2190阶。为了验证EGM2008模型在临沂地区的精度，本文采用实测地面重力数据对EGM2008模型进行外部测试。考虑到地面重力测量成果使用无潮汐基准, 模型重力场计算时亦采用无潮汐基准模型。经过分析，模型数据与实测空间重力网格数据的标准差为5.66mGal。

本区共有165个GPS/水准点，分布如图3所示。其坐标系统采用2000国家大地坐标系，高程基准采用1985 国家高程基准。任取其中142个点（圆点标记）作为高一级的控制点计算大地水准面，剩余23个点（星号点标记）作为外部检验点，以检验求得的大地水准面的精度。

图3水准点分布图

3.2 离散重力数据格网化

重力测量的结果是一些分布不规则的离散点重力值。为了便于使用快速傅立叶变换（FFT）等科学计算方法，离散重力数据需要进行格网化。然而由于空间重力异常的变化较大，直接对空间重力异常进行格网化将产生较大的误差。因此通常在进行格网化之前对重力异常进行归算。本文重力归算采用布格重力异常进行格网化。具体计算步骤如图4所示。

图4 重力异常数据格网化计算流程图

临沂市外空白区域用EGM2008模型重力异常进行填充。格网化过程中的地形数据采用SRTM3模型。按图4所述的方法，将离散重力数据格网化成2.5?×2.5?分辨率的网格点。图5给出了格网化后的空间异常等值线图，其最大值为50.74mGal，最小值为-6.61mGal，平均值为9.36mGal。

图5 格网化后的地面空间异常（单位：mGal）

3.3 重力大地水准面计算

根据前面介绍的三种归算模型分别计算重力似大地水准面。图6-8分别给出了RTM 法、Helmert凝聚法以及RTM/Helmert法得到的重力大地水准面。图9-11给出了三种方法计算的重力大地水准面的差异。从结果可以看出，虽然三种归算模型原理不同的，但是计算的重力似大地水准面的形状基本一致；在地形起伏较大的地区，三种方法计算的重力似大地水准面差异略大。图6 基于RTM 法计算的重力大地水准面（单位：m）图7 基于Helmert法计算的重力大地水准面（单位：m）图8 基于RTM/Helmert法计算的重力大地水准面图9 与Helmert法计算的重力大水准面比较（单位：m）图10法与Helmert法计算的重力大地水准面比较（单位：m）图11 与RTM/Helmert计算的重力大地水准面比较（单位：m）

4、结论

由于研究区域地形的复杂性，大地水准面外部质量是影响大地水准面求定的关键问题所在，本文详细介绍了RTM 法、Helmert凝聚法以及 RTM/Helmert法三种归算模型在重力异常逼近中的应用，分析了三种模型对重力大地水准面计算的影响。通过算例分析：虽然RTM 法、Helmert凝聚法和RTM/Helmert法在原理上不同，但是得到的重力大地水准面基本相近。在地形起伏较大的地区，计算的重力似大地水准面差异略大。

新闻推荐

“滴水涟漪”志愿服务团赴费县推广普通话

本报8月27日讯(记者衣方杰）日前，烟台大学文经学院文法系“滴水涟漪”志愿服务团赴费县开展以“推广普通话，关爱留守儿童”为...

费县新闻，讲述家乡的故事。有观点、有态度，接地气的实时新闻，传播费县正能量。看家乡事，品故乡情。家的声音，天涯咫尺。