寻“式”求“值”浅析 ·达川区马家镇中心小学/李勇·

在中、小学数学的综合复习题中，经常出现求某一个字母的值或取值范围的问题。针对这类题综合性强，牵涉知识点多的特点，最简单的办法就是寻找出以该字母为未知数的“式”（等式或不等式），而该“式”的出现又要综合运用已知条件，结合有关定理（常用的有一元二次方程根的判别式定理及韦达定理），有时还需经过筛选才能寻求出符合条件的“式”。我凭借自己十多年初中数学教学特别是教初中毕业班教学的经验，归纳出在这类题的教学、复习中，明确告诉学生：求什么字母的值或取值范围这类题，思维方向是：寻找含有该字母的“式”，求“值”是目的，寻“式”是关键，最终使问题得以正确解决。现举例如下：

例1：若方程mx2－2(m+2)x+m+5=0(m≠0)无实根，求m的取值范围。

分析及简解：求m的取值范围，寻找含有m的式，结合条件由一元二次方程根的判别式定理△＜0，得出△=－4m+16＜0，｀m＞4。

例2：一元二次方程x2+2x-a=0的两个实根之积的平方不大于25，求a的取值范围。

分析及简解：令此方程的两根为x1，x2，由条件得（x1·x2）2≤25，结合韦达定理可得出含a的式，（-a）2≤25，解得-5≤a≤5。

例3：已知一元二次方程4x2-2（m+1）x+m=0的两实根分别是Rt△ABC两锐角的正弦值，求m的值。

分析及简解：由韦达定理sinA+sinB=（m+1）∕2⑴sinA·sinB=m∕4⑵∵A+B=90,｀sinB=cosA,⑴式两边平方，结合⑵式及有关知识易得出含m的等式，（1+m）∕2=（m2+2m+1）∕4，｀m=±，∵sinA+sinB＞0，m=-舍去，m=时，方程△＞0符合条件，｀m=。

以上三例，求“式”的过程较简单，再看下例；

例4：关于x的一元二次方程x2+2（a+b）x+2a-b2+6b-4=0（a、b为实数），解答下列各题：

⑴若b=1时，方程有一个大于0而小于1的根，求a的取值范围。

⑵若a取任何值时，方程都有相异实根，求b的范围。

分析及简解：

⑴寻找“a”的不等式：

当b=1时，原方程为x2+2（a+1）x+2a+1=0，解之得x1=-1，x2=-2a-1

根据条件x1应该舍去，故得出含a的“式”，（根x2的表达式）0＜x2＜1，所以：-1＜a＜1／2.

⑵寻“b”的不等式：

从方程“有相异实根”入手，即原方程判别式

△=[2（a+b）]2-4（2a-b2+6b-4）＞0化简为a2+2（b-1）a+2 b2-6b+4＞0（此时即可看成a的二次函数表达式），由条件a取任何实数，方程都有相异实根即关于a的二次函数的值恒大于0，必须有方程a2+2（b-1）a+2b2-6b+4=0无实数根，判别式△=4（b-1）2-4（2b2-6b+4）＜0，得出含b的式，（即关于a的二次方程的判距别式的表达式）。解之得b＜1或b＞3。当然此例的寻式过程难度就大多了。

再来看一道小学数学应用题：

例5：大小两辆汽车从相距x千米的甲地开往乙地。当小汽车行完全程的1／2时，大汽车离乙地54千米，照这样的速度继续行驶，当小汽车到达乙地时，大汽车行驶了全程的4／5，求甲乙两地间的公路长x是多少千米？

分析及简解：此题所要求的值就是甲乙两地的距离“x”，如何求出一个含有“x”的式呢？在此题中，大小两辆汽车的速度是一定的，那么在相同的时间里，小汽车和大汽车行驶的路程之比等于两车速度之比，由此我们就可建立一比例式将此题解决了。也就是（1／2）x：（x-54）=x：（4／5）x，解之得x=90，而此题要找的“式”就是含有“x”的比例式。

新闻推荐

盗抢案件同比下降 诈骗案件在“抬头”市公安局通报打击“盗抢骗”专项行动情况

（内江日报全媒体记者陈梨媛）7月15日，市公安局召开新闻发布会，通报全市公安机关打击“盗抢骗”专项行动的基本情况。从今年1月1日起，全市开展为期三年的“打盗抢反诈骗”专项行动。上半年，全...

新都新闻，讲述家乡的故事。有观点、有态度，接地气的实时新闻，传播新都区正能量。看家乡事，品故乡情。家的声音，天涯咫尺。